যদি ${\sin }^{-1}x+ {\sin }^{-1}y=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$ এবং ${\cos }^{-1}x - {\cos }^{-1}y$ $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ হয়, হয়, তবে $x^2 + y^2$ এর মান হবে-

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometric Functions) এর কিছু গুণাবলী ও গাণিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির বিপরীত হিসেবে কাজ করে। এগুলি সাধারণত কোণের মান বের করতে ব্যবহৃত হয়, যখন ত্রিকোণমিতিক গুণফল (যেমন সাইন, কসমাইন, ট্যানজেন্ট) দেওয়া থাকে। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ গুণাবলী ও তাদের গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হলো।

1. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন গুলি সাধারণ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত। যদি \( \sin(\theta) = x \), তবে \( \sin^{-1}(x) = \theta \), যেখানে \( \theta \) সেই কোণ যা \( x \)-এর জন্য সাইন হিসেবে দেওয়া থাকে। একইভাবে, কসমাইন এবং ট্যানজেন্টের জন্যও একইভাবে বিপরীত ফাংশন কাজ করে।

2. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণাবলী

১. অপারেশন সংক্রান্ত গুণাবলী:

• \( \sin(\sin^{-1}(x)) = x \) এবং \( \sin^{-1}(\sin(x)) = x \)

  \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \) হল সেই কোণ, যার সাইন \( x \) সমান। তাই, \( \sin(\sin^{-1}(x)) = x \)।
  কিন্তু, \( \sin^{-1}(\sin(x)) = x \) হবে শুধুমাত্র যখন \( x \) এর মান \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) এর মধ্যে থাকবে, যেহেতু \( \sin^{-1}(x) \) এর পরিসর (range) এই সীমার মধ্যে সীমাবদ্ধ।

• \( \cos(\cos^{-1}(x)) = x \) এবং \( \cos^{-1}(\cos(x)) = x \)

  \( \cos^{-1}(x) \) হল সেই কোণ, যার কসমাইন \( x \) সমান। তাই, \( \cos(\cos^{-1}(x)) = x \)।
  তবে, \( \cos^{-1}(\cos(x)) = x \) হবে শুধুমাত্র যখন \( x \) এর মান \( [0, \pi] \) এর মধ্যে থাকবে, যেহেতু \( \cos^{-1}(x) \) এর পরিসর এই সীমার মধ্যে থাকে।

• \( \tan(\tan^{-1}(x)) = x \) এবং \( \tan^{-1}(\tan(x)) = x \)

  \( \tan^{-1}(x) \) হল সেই কোণ, যার ট্যানজেন্ট \( x \) সমান। তাই, \( \tan(\tan^{-1}(x)) = x \)।
  কিন্তু, \( \tan^{-1}(\tan(x)) = x \) হবে শুধুমাত্র যখন \( x \) এর মান \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) এর মধ্যে থাকবে, যেহেতু \( \tan^{-1}(x) \) এর পরিসর এই সীমার মধ্যে থাকে।

২. ফাংশনগুলির পরিসর এবং সংজ্ঞা (Range and Domain):

• \( \sin^{-1}(x) \): এর পরিসর \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) এবং ডোমেইন \( [-1, 1] \) থাকে।
• \( \cos^{-1}(x) \): এর পরিসর \( [0, \pi] \) এবং ডোমেইন \( [-1, 1] \) থাকে।
• \( \tan^{-1}(x) \): এর পরিসর \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) এবং ডোমেইন \( (-\infty, \infty) \) থাকে।

৩. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল (Sum of Inverse Trigonometric Functions):

• \( \sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} \) (যেখানে \( -1 \leq x \leq 1 \))

  এর অর্থ হলো, \( \sin^{-1}(x) \) এবং \( \cos^{-1}(x) \) এর যোগফল সর্বদা \( \frac{\pi}{2} \) হবে।

• \( \tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} \) (যেখানে \( x > 0 \))

  এর অর্থ হলো, \( \tan^{-1}(x) \) এবং \( \cot^{-1}(x) \) এর যোগফল সর্বদা \( \frac{\pi}{2} \) হবে।

3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির গ্রাফ সাধারণত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির বিপরীত আকারে থাকে। উদাহরণস্বরূপ:

• \( \sin^{-1}(x) \)-এর গ্রাফ একটি বাঁকা রেখা থাকে, যা \( -1 \leq x \leq 1 \) পরিসরে থাকে এবং এর পরিসর \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) থাকে।
• \( \cos^{-1}(x) \)-এর গ্রাফের পরিসর \( [0, \pi] \) থাকে এবং ডোমেইন \( [-1, 1] \) থাকে।
• \( \tan^{-1}(x) \)-এর গ্রাফ একটি সোজা রেখা, যা অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে।

4. গাণিতিক ব্যাখ্যা

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির গাণিতিক ব্যাখ্যা হলো যে, একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান থেকে তার সংশ্লিষ্ট কোণ বের করার প্রক্রিয়া। উদাহরণস্বরূপ, যদি \( \sin(\theta) = 0.5 \), তাহলে \( \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ \) বা \( \frac{\pi}{6} \) রেডিয়ানে।

এভাবে, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণাবলী এবং গাণিতিক ব্যাখ্যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সঙ্গে সম্পর্কিত বিভিন্ন ধারণা ও গাণিতিক সমস্যার সমাধানে সহায়ক।